RDSは操作上は無停止でアップグレードする事ができます。
しかし実際は数分ほどタイムダウンが発生します。
これはマルチAZで運用していても回避できません。
マイナーバージョンアップ中は次のような順序でイベントが発生します。
1.Finished DB Instance backup
2.Backing up DB instance
3.Database instance patched
4.DB instance restarted
5.DB instance shutdown
6.Finished DB Instance backup
7.Backing up DB instance
5から6にかけてどうしてもタイムダウンが発生します。
この間はRDSへの要求が一切できなくなります。
下記の条件で試しましたがタイムダウンは１分程度でした。
タイプ：db.m3.xlarge
マルチAZ:あり
ストレージ：20GB(使用量は１割程度)
バージョン：MySQL5.6.21 → MySQL5.6.34
RDSのアップグレードは無停止で可能です。
ただし、サービス側でタイムダウンの影響がでないように処置する必要があります。
MySQL5.6のうち下記のバージョンのサポートは2017年7月19日に終了します。
5.6.19a, 5.6.19b, 5.6.21, 5.6.21b, 5.6.22, 5.6.23
サポートが終了したものはRDSが自動的にアップグレードされます。
アップグレードの際は数分のタイムダウンが発生しますので注意してください。